Paris on the chair

Tree algorithms

• Tree center(s) - O(V+E)   - - - - - - - - - - - - - - - - > Here !
• Tree diameter - O(V+E) 
•  Rooting an undirected tree - O(V+E)
• Lowest Common Ancestor (LCA, Euler tour) - O(1) queries, O(nlogn) preprocessing

Tree Center(s) 개요 

Graph 에서 Center를 찾는 알고리즘이다. 다만, 제한조건이 존재하는데 그래프는 Undirected 하고 asyclic 해야한다. 

그래프에서는 Undirected & asyclic 조건을 만족하면 'Tree'라 정의하기 때문에 Tree Center(s)라 불린다. 

아래 예시를 보자.

=> Graph에서 가장 긴 Path의 중점이 Center(s) 이다.

How to Solve ?

Tree의 Center를 찾기 위한 방법이 상당히 재밌는데,

Leaf 노드들을 bfs로 쳐냄으로써 Center(s)를 찾아낸다.

다시말해, degree가 1인 leaf들을 bfs로 쳐냈을 때, 마지막에 잔재했던 leaf node(s)가 Center가 된다. 

### pseudo code 


def findTreeCenters(n: int, graph: dict[List[]]) -> List:
	"""
    	@param n : the size of vertexes.
    	@param graph : adjacency list.
        			   graph는 asyclic, undirected 해야함.
        	e.g. 
            	graph[1] = [0,2,3]
                
                    0 --- 1 --- 2
                          |
                          |
                          3
             
    """
	
    degree = [0] * n
    for i in range(n):
    	degree[i] = len(graph[i])
    
    ## 쳐내고자 하는 leaf들을 찾는다.
    leaves = []
    for node in range(n):
    	if degree[node] == 1:
        	leaves.append(node)
    
     ## center를 찾기 위한 반복문. 
     ## 지속해서 leaf를 쳐낸다.
     count = len(leaves)
     while count < n:
     	new_leaves = []
        for leave in leaves:
	        ## leave를 쳐냈으므로 degree는 0이 돼야함.
        	degree[leave] = 0 
            for neighbor in graph[leave]:
            	degree[neighbor] -= 1
    			if degree[neighbor] == 1:
                	new_leaves.append(neighbor)
       	leaves = new_leaves
     	count += len(leaves)
        
     return leaves

어디에 사용될까 ?

Identifying Critical Nodes: The center(s) of a tree often represent the most critical or central nodes in the network, which may play crucial roles in maintaining the connectivity of the graph.

Rooting Trees: In computer science and data structures, you might need to root a tree at a specific node. The center of the tree can be used as a good root that balances the tree.

Network Design: Finding the center(s) of a network can help in designing efficient communication networks or transportation systems.

 Tree Center는 특히 네트워크에 유용하게 사용될 수 있을 듯 하다. 

추천 문제 

https://leetcode.com/problems/minimum-height-trees/